Wie Weet

waaroemnipedie van waaroemni is in licentie gegeven volgens een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel-Gelijk delen 2.0 België licentie.

Inhoud blog

	Kerstgroet
	Luchtballonvaart
	Paulus Potter
	Sint-Elisabethsvloed
	Willem Tell
	Computermuis
	Oklahoma
	Apollo 12
	Paul Cornu
	Tirpitz
	Washington (staat)
	US Marine Corps
	Berlijnse Muur
	Wilhelm Röntgen
	Sabena
	Hawker Hurricane
	Buskruitverraad
	Spaanse furie
	Chevrolet
	Noth-&South Dakota
	Ivy Mike
	Bohemian Rhapsody
	Jommeke
	Burger King
	Don Giovanni
	Burgemeester (België)
	Dassault Super-Étendard
	Burgemeester (Nederland)
	Metro van New York
	Burgemeester

Zoeken in blog

Categorieën

amfibieën (16)

auto (116)

beurs (257)

flora (204)

gebeurtenissen (298)

insecten (162)

muziekinstrument (17)

varia (400)

vogels (129)

E-mail mij

Beoordeel dit blog

Inhoud blog

	Kerstgroet
	Luchtballonvaart
	Paulus Potter
	Sint-Elisabethsvloed
	Willem Tell
	Computermuis
	Oklahoma
	Apollo 12
	Paul Cornu
	Tirpitz
	Washington (staat)
	US Marine Corps
	Berlijnse Muur
	Wilhelm Röntgen
	Sabena
	Hawker Hurricane
	Buskruitverraad
	Spaanse furie
	Chevrolet
	Noth-&South Dakota
	Ivy Mike
	Bohemian Rhapsody
	Jommeke
	Burger King
	Don Giovanni
	Burgemeester (België)
	Dassault Super-Étendard
	Burgemeester (Nederland)
	Metro van New York
	Burgemeester
	P-51 Mustang
	Bunzing (slot)
	Pablo Picasso
	Bunzing 2
	Concorde (vliegtuig)
	Juan Luna
	Bunzing
	Windows 7
	Buntsteken
	Slag bij Trafalgar
	Buntgras
	Sydney Opera House
	Bunkerstation
	Tannhäuser
	Bunkerslag
	Kongo-Vrijstaat
	Bungeejumpen
	Ascanio in Alba
	Bulwers stormvogel
	The Walt Disney Company
	Bulwers fazant
	Station Amsterdam Centraal
	Bulvleermuizen
	Bell X-1
	Draaikolknevel
	Bultrug
	Delftse donderslag
	Bultkroos
	Boeing 747-200
	Bultkrokodil
	Bultkopvleermuisvis
	Bultkoppapegaaivis
	Great Chicago Fire
	Bulthaarmos
	Streepjescode
	Bullterriër
	Moulin Rouge
	Bullshitbingo
	Monty Python's
	Bullocks troepiaal
	Werelddierendag
	Bullmastiff
	Leids ontzet
	Bullers pijlstormvogel
	Peanuts
	Bullers albatros
	CD-speler
	The Flintstones
	De Fabeltjeskrant
	Dag van de klant
	Biosfeer 2
	Honda
	Paul Delvaux
	Das Rheingold
	De Hobbit
	Armada de Moluccas
	Bullenpees
	Antonov An-140
	Bullenbeisser
	General Motors
	Wish You Were Here
	Windows ME
	Vrijdag de dertiende
	Newport Transporter Bridge
	Pentagon
	Large Hadron Collider
	Californië
	Star Trek
	ATP World Tour Finals
	George Eastman - Kodak
	Ferdinand Porsche
	Paleis Huis ten Bosch
	Scheren
	Vrij Nederland
	Harley-Davidson
	Ritssluiting
	Vredespaleis
	Krakatau
	Charles Bourseul
	Bulgogi
	Bulgarije
	Bulgaarse heremiet
	Windows 95
	Bulgaarse glanslibel
	Beeld van de Kleine Zeemeermin
	Rode Kruis
	Lange Jan
	Bulgaarse bergerebia
	Buleria
	Buldogmier
	Slag bij Pevelenberg
	Arktika
	Buldog
	Hacker
	Rode Duivels
	Dag van de linkshandigen
	Quagga
	Magic Tour
	Mont Blanc
	Harvard Mark I
	Vrede van Den Haag
	Slag bij de Doggersbank
	Slag bij Vlaardingen
	Nijlpaard
	Bugs Bunny
	Plakkaat van Verlatinghe
	Kanaal van Korinthe
	Gran Telescopio Canarias
	Softijs
	Bloedbad van Béziers
	Mens op de maan(vertrek)
	Mens op de maan
	SS Great Britain
	Hoorndrager
	Disneyland Park
	Bulbsteven
	Mont Blanctunnel
	Rembrandt
	Matterhorn
	Live Aid
	Slag aan de Boyne
	Buksschieten
	Elias Howe
	Buizerdwouw
	Roswellincident
	Gesneden brood
	Piper Alpha
	Philosophiae Naturalis Principia Mathematica
	Buizerd
	Buidelslaapmuizen
	Mars Pathfinder
	Buidelmollen
	Quebec
	Buidelmees
	Zeppelin
	Buidelmarters
	Sontbrug
	Buidelkikkers
	Toengoeska-explosie
	Buidelhazen
	Globe Theatre
	P.P.Rubens
	Buideleikelmuis
	Route 66
	Buideleekhoorn
	Oosterscheldekering
	Buideldieren(vervolg)
	Virginia (staat)
	Buideldieren
	Cornflakes
	Buideldassen
	Schrijfmachine
	Charon
	Zomer
	Fout 404
	Garfield (strip)
	De Leeuw van Waterloo
	Consumptie-ijs
	Pepsi
	Bliksemafleider
	Schuurpapier
	Pioneer 10
	Stadsrechten
	Buick Model C-36/C-37
	Tristan und Isolde(deel2)
	Tristan und Isolde
	Donald Duck(deel3)
	Donald Duck(deel2)
	Donald Duck(deel1)
	1984 (boek)

mijn kleinzoon

waaroemnieke

nieuwe fiets voor 6e verjaardag

Wie Weet

bloggen om te leren

21-07-2010

Bewijs dat wortel 2 irrationaal is

B b B b 5 W
*Bewijs dat wortel 2 irrationaal is*

Door Euclides is al het hieronder volgende getaltheoretische bewijs dat wortel 2 irrationaal is gegeven in Boek X van De Elementen. In algemenere vorm was een dergelijk bewijs al eerder bekend, evenals meetkundige bewijzen. De stelling met dit bewijs staat op de eerste plaats in de in 1999 gepubliceerde lijst van de 100 belangrijkste wiskundige stellingen. De stelling dat een irrationaal getal is, betekende de ontdekking van getallen die niet rationaal waren, dus niet de verhouding van natuurlijke getallen waren. Daarmee werd het wereldbeeld van de Pythagoreërs die de natuurlijke getallen als de maat van alle dingen beschouwden, overhoop gegooid. Het door Euclides gegeven bewijs is een voorbeeld van een zogenaamd 'bewijs uit het ongerijmde': Neem aan dat de wortel uit 2 een rationaal getal is, dus te schrijven als het quotiënt van twee gehele getallen. Vervolgens leidt een logische redenering tot een tegenspraak. Bijgevolg is de veronderstelling verkeerd en is bewezen dat de wortel uit 2 geen rationaal getal is.
Veronderstel dat een rationaal getal is en dus te schrijven als het quotiënt van twee gehele getallen. Van die twee gehele getallen zoeken we alle gemeenschappelijke delers, en vervolgens delen we zowel teller als noemer door die delers. Het resultaat is dat de wortel uit 2 geschreven kan worden als a/b, waarbij a en b gehele getallen zijn zonder gemeenschappelijke delers. De grootste gemene deler van a en b is bijgevolg 1; anders geformuleerd: er is geen gemeenschappelijke deler groter dan 1. Uit volgt Kwadrateren links en rechts van het gelijkteken levert:
Daaruit volgt dat een even getal is. Omdat het kwadraat van een oneven geheel getal altijd oneven is, kan a niet oneven zijn en dus is a zelf even. Zeg a = 2 p, met p een geheel getal. Daaruit volgt weer: , dus . We zien dat b² even is, en op dezelfde manier als hierboven bij a, trekken we de conclusie dat b ook even is.
Zowel a als b zijn dus even en bijgevolg deelbaar door 2; hieruit volgt: de grootste gemeenschappelijke deler van a en b is groter dan 1 (minstens 2)! Dit is echter in tegenspraak met onze keuze van a en b, die geen gemeenschappelijke deler hebben. Onze veronderstelling was bijgevolg verkeerd en daarmee is bewezen dat de wortel uit 2 een irrationaal getal is. q.e.d. (Quod erat demonstrandum).
Bron : Wikipedia CC 3.0

Geef hier uw reactie door

Uw naam *
Uw e-mail
URL
Titel *
Reactie *
	Persoonlijke gegevens onthouden?
(* = verplicht!)

Reacties op bericht (0)

Beoordeel dit blog

voor volledig scherm
...klik hier
kerst 2014

Laatste commentaren

nike air max 97 (yanxia39)
op Luchtballonvaart

vriendelijk blog bezoekje (kinrooi webradio)
op Kerstgroet

Hallo, lieve zondaggroetjes ... (gita)
op Kerstgroet

Hoikes (steffie)
op Luchtballonvaart

Hoikes (steffie)
op Kerstgroet

Hoofdpunten blog saagje

	Het oude moedertje
	De legende van de maïs
	Mans van de Maone
	De boer en de duivel
	De twee advocaten(slot)

Kribbelboek

	vriendelijk blog bezoekje
	Fijn weekend toegewenst
	Fijne Zondag gewenst
	Groeten uit Knokke-Heist
	Groeten uit Knokke-Heist

E-mail mij

Blog als favoriet !

Klik hier
om dit blog bij uw favorieten te plaatsen!

Archief per week

	23/12-29/12 2013
	18/11-24/11 2013
	11/11-17/11 2013
	04/11-10/11 2013
	28/10-03/11 2013
	21/10-27/10 2013
	14/10-20/10 2013
	07/10-13/10 2013
	30/09-06/10 2013
	23/09-29/09 2013
	16/09-22/09 2013
	09/09-15/09 2013
	02/09-08/09 2013
	26/08-01/09 2013
	19/08-25/08 2013
	12/08-18/08 2013
	05/08-11/08 2013
	29/07-04/08 2013
	22/07-28/07 2013
	15/07-21/07 2013
	08/07-14/07 2013
	01/07-07/07 2013
	24/06-30/06 2013
	17/06-23/06 2013
	10/06-16/06 2013
	03/06-09/06 2013
	27/05-02/06 2013
	20/05-26/05 2013
	13/05-19/05 2013
	06/05-12/05 2013
	29/04-05/05 2013
	22/04-28/04 2013
	15/04-21/04 2013
	08/04-14/04 2013
	01/04-07/04 2013
	25/03-31/03 2013
	18/03-24/03 2013
	11/03-17/03 2013
	04/03-10/03 2013
	25/02-03/03 2013
	18/02-24/02 2013
	11/02-17/02 2013
	04/02-10/02 2013
	28/01-03/02 2013
	21/01-27/01 2013
	14/01-20/01 2013
	07/01-13/01 2013
	31/12-06/01 2013
	24/12-30/12 2012
	17/12-23/12 2012
	10/12-16/12 2012
	03/12-09/12 2012
	26/11-02/12 2012
	19/11-25/11 2012
	12/11-18/11 2012
	05/11-11/11 2012
	29/10-04/11 2012
	22/10-28/10 2012
	15/10-21/10 2012
	08/10-14/10 2012
	01/10-07/10 2012
	24/09-30/09 2012
	17/09-23/09 2012
	10/09-16/09 2012
	03/09-09/09 2012
	27/08-02/09 2012
	20/08-26/08 2012
	13/08-19/08 2012
	06/08-12/08 2012
	30/07-05/08 2012
	23/07-29/07 2012
	16/07-22/07 2012
	09/07-15/07 2012
	02/07-08/07 2012
	25/06-01/07 2012
	18/06-24/06 2012
	11/06-17/06 2012
	04/06-10/06 2012
	28/05-03/06 2012
	21/05-27/05 2012
	14/05-20/05 2012
	07/05-13/05 2012
	30/04-06/05 2012
	23/04-29/04 2012
	16/04-22/04 2012
	09/04-15/04 2012
	02/04-08/04 2012
	26/03-01/04 2012
	19/03-25/03 2012
	12/03-18/03 2012
	05/03-11/03 2012
	27/02-04/03 2012
	20/02-26/02 2012
	13/02-19/02 2012
	06/02-12/02 2012
	30/01-05/02 2012
	23/01-29/01 2012
	16/01-22/01 2012
	09/01-15/01 2012
	02/01-08/01 2012
	24/12-30/12 2012
	19/12-25/12 2011
	12/12-18/12 2011
	05/12-11/12 2011
	28/11-04/12 2011
	21/11-27/11 2011
	14/11-20/11 2011
	07/11-13/11 2011
	31/10-06/11 2011
	24/10-30/10 2011
	17/10-23/10 2011
	10/10-16/10 2011
	03/10-09/10 2011
	26/09-02/10 2011
	19/09-25/09 2011
	12/09-18/09 2011
	05/09-11/09 2011
	29/08-04/09 2011
	22/08-28/08 2011
	15/08-21/08 2011
	08/08-14/08 2011
	01/08-07/08 2011
	25/07-31/07 2011
	18/07-24/07 2011
	11/07-17/07 2011
	04/07-10/07 2011
	27/06-03/07 2011
	20/06-26/06 2011
	13/06-19/06 2011
	06/06-12/06 2011
	30/05-05/06 2011
	23/05-29/05 2011
	16/05-22/05 2011
	09/05-15/05 2011
	02/05-08/05 2011
	25/04-01/05 2011
	18/04-24/04 2011
	11/04-17/04 2011
	04/04-10/04 2011
	28/03-03/04 2011
	21/03-27/03 2011
	14/03-20/03 2011
	07/03-13/03 2011
	28/02-06/03 2011
	21/02-27/02 2011
	14/02-20/02 2011
	07/02-13/02 2011
	31/01-06/02 2011
	24/01-30/01 2011
	17/01-23/01 2011
	10/01-16/01 2011
	03/01-09/01 2011
	26/12-01/01 2012
	20/12-26/12 2010
	13/12-19/12 2010
	06/12-12/12 2010
	29/11-05/12 2010
	22/11-28/11 2010
	15/11-21/11 2010
	08/11-14/11 2010
	01/11-07/11 2010
	25/10-31/10 2010
	18/10-24/10 2010
	11/10-17/10 2010
	04/10-10/10 2010
	27/09-03/10 2010
	20/09-26/09 2010
	13/09-19/09 2010
	06/09-12/09 2010
	30/08-05/09 2010
	23/08-29/08 2010
	16/08-22/08 2010
	09/08-15/08 2010
	02/08-08/08 2010
	26/07-01/08 2010
	19/07-25/07 2010
	12/07-18/07 2010
	05/07-11/07 2010
	28/06-04/07 2010
	21/06-27/06 2010
	14/06-20/06 2010
	07/06-13/06 2010
	31/05-06/06 2010
	24/05-30/05 2010
	17/05-23/05 2010
	10/05-16/05 2010
	03/05-09/05 2010
	26/04-02/05 2010
	19/04-25/04 2010
	12/04-18/04 2010
	05/04-11/04 2010
	29/03-04/04 2010
	22/03-28/03 2010
	15/03-21/03 2010
	08/03-14/03 2010
	01/03-07/03 2010
	22/02-28/02 2010
	15/02-21/02 2010
	08/02-14/02 2010
	01/02-07/02 2010
	25/01-31/01 2010
	18/01-24/01 2010
	11/01-17/01 2010
	04/01-10/01 2010
	28/12-03/01 2016
	21/12-27/12 2009
	14/12-20/12 2009
	07/12-13/12 2009
	30/11-06/12 2009
	23/11-29/11 2009
	16/11-22/11 2009
	09/11-15/11 2009
	02/11-08/11 2009
	26/10-01/11 2009
	19/10-25/10 2009
	12/10-18/10 2009
	05/10-11/10 2009
	28/09-04/10 2009
	21/09-27/09 2009
	14/09-20/09 2009
	07/09-13/09 2009
	31/08-06/09 2009
	24/08-30/08 2009
	17/08-23/08 2009
	10/08-16/08 2009
	03/08-09/08 2009
	27/07-02/08 2009
	29/06-05/07 2009
	22/06-28/06 2009
	15/06-21/06 2009
	08/06-14/06 2009
	01/06-07/06 2009
	25/05-31/05 2009
	18/05-24/05 2009
	04/05-10/05 2009
	27/04-03/05 2009
	30/03-05/04 2009
	23/03-29/03 2009
	16/03-22/03 2009
	02/03-08/03 2009
	23/02-01/03 2009
	16/02-22/02 2009
	09/02-15/02 2009
	02/02-08/02 2009
	26/01-01/02 2009
	19/01-25/01 2009
	12/01-18/01 2009
	05/01-11/01 2009
	29/12-04/01 2009
	22/12-28/12 2008
	15/12-21/12 2008
	08/12-14/12 2008
	01/12-07/12 2008
	24/11-30/11 2008
	17/11-23/11 2008
	10/11-16/11 2008
	03/11-09/11 2008
	27/10-02/11 2008
	20/10-26/10 2008
	05/05-11/05 2008
	28/04-04/05 2008
	21/04-27/04 2008
	14/04-20/04 2008
	07/04-13/04 2008
	31/03-06/04 2008
	24/03-30/03 2008
	17/03-23/03 2008
	10/03-16/03 2008
	03/03-09/03 2008
	25/02-02/03 2008
	18/02-24/02 2008
	11/02-17/02 2008
	04/02-10/02 2008
	28/01-03/02 2008
	21/01-27/01 2008
	14/01-20/01 2008
	07/01-13/01 2008
	31/12-06/01 2008
	24/12-30/12 2007